前言
今天我们就来谈谈黎曼猜想。
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黎曼是19世纪德国著名的数学家，他奠定了非欧几何分支的黎曼几何的基础，爱因斯坦的理论就是建立在黎曼几何基础之上的，此外他对微积分的公理化有很大贡献。
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黎曼猜想是他在当选普鲁士科学院院士时，作为感谢，写了一篇论文，在论文中提到的一个研究成果。当时他并没有能证明这个猜想，只是感觉它是对的。在那以后，很多数学家试图证明这个猜想。
- 这也让它和大家熟悉的哥德巴赫猜想，以及几年前被证明的庞加莱猜想，并列为数学界知名度很高的三个猜想，也是7个千禧年问题之一，谁要是证明了这个猜想，可以获得100万美元的奖金。
要讲黎曼猜想，先要说说调和级数和欧拉的魔术。所谓级数就是将一个无穷的数列求和，比如等比级数：
1+1/2+1/4+1/8……
这个级数，没完没了地加下去之后，最后等于2。
而调和级数是正整数的倒数和，即：
Z ＝ 1/1 ＋ 1/2 ＋1/3 ＋……
如果Z也无限地加下去，到底会等于什么呢？这个问题的答案就不那么直观了，因此这个古老的问题，直到14世纪时，人们还不知道它的答案，到底是无穷大，还是一个确定的值？
如果是一个确定值，那么我们就说这个级数是收敛的，否则就是不收敛的或者叫做发散的。
具体到这个问题，答案是后者，也就是说Z最后等于无穷大。后来欧拉把调和级数的问题稍作改变，改成正整数的倒数平方和，即：
Z（2）＝ 1/1^2 ＋ 1/2^2 ＋1/3^2 ＋……
欧拉告诉大家，S（2）就等于了一个有限的数值，也就是说是收敛的。欧拉算出来它等于圆周率Pi的平方除以6。这个答案虽然是对的，但是欧拉的算法今天看来其实不严谨，因为他需要先证明Z（2）本身是收敛的，而不是无穷大，他的做法才有意义。正是这种不严谨，会导致我们下面要讲的一些荒唐的结果。但不管怎样，欧拉找到了一种计算这一类级数的方法。
再接下来，我们把上面这个级数再推广一下，把它变成
Z（s）＝ 1/1^s ＋ 1/2^s ＋1/3^s ＋……
即整数倒数的s次方之和，这里面s可以是任何数，这个级数在数学上被称为Zeta函数，Zeta是希腊字母ς（Zeta）的英文读音。那么这个级数之和是否有限呢？欧拉发现只要s大于1，它就是收敛的，存在有限的答案。如果s小于1，级数和就是发散的，结果是无穷大。
通常我们想到这一步就停止了，但是欧拉作为大数学家是很有想象力的。欧拉就在想了，如果s进一步缩小，变成了负数，这个级数会是什么样的？这在现实世界中是一个很无趣的问题，因为它加来加去结果无非是无穷大。比如s＝－1，这个级数就是1＋2+3+4……，即正整数之和。我们可以更规范地把它写成：
Z（－1）＝1+2+3+4……
显然，在现实世界中1＋2+3……这种问题没有什么意义。但是欧拉作了一个大胆的假设，依然使用收敛级数求和的方法来计算它，就会得到一个荒唐的结论。
S（－1）＝1+2+3+…… ＝－1/12，这样，欧拉就如同变魔术一样，把无数个正整数的和算成了负数。
至于这个结论是如何产生的，你不用太关心，总之是按照看似合理的一步步演算得到这个结果。你可能听有些卖弄学问的人说过，所有自然数之和等于－1/12，就是从这里来的。
造成这种荒唐结论一定有原因，或者说，欧拉的演算有疏漏之处。实际上欧拉的问题在于，他用了对收敛级数求和的方法计算不收敛的级数。我在《硅谷之谜》中讲过，不能将有限世界的方法简单地应用到无限的世界中，欧拉在这里其实就犯了这样一个错误。类似地，欧拉还用同样错误的方法得到了另一个荒唐的结论，即所有正整数的平方和等于零：
Z（－2）＝1^2＋2^2+3^2+…… = 1+4+9+16……＝0
至于为什么欧拉能够得出这样看似荒唐的结论，我们暂且不追究它的细节，这和前面一样，只要假设级数发散时可以用级数收敛时的计算方法，就是这样的结果。也就是说，一旦设定了前提，不论通过什么逻辑得到什么结果，在数学上都是行得通的，这是数学和自然科学本质的差别。
函数定义的延拓
为了让这样没有意义的结论变得有意义，欧拉作了一次我们昨天所说的函数定义的延拓，即把原本定义在s必须大于1基础上的Zeta函数Z（s），定义的范围（也称为定义域）扩展到所有的复数范围。
也就是说，s不仅能够等于－1，－2，等等，还能等于虚数i，或者虚数i和实数的组合，比如0.5＋2i。当然，对于Z（－2），Z（－3）这样的函数值不能让它们等于无穷大，那样没有意义，至于该等于什么，用欧拉那种“荒唐”的解法，解出来是什么，我们就承认它是什么。
平凡解
给定s不同的数值，Zeta函数Z（s）就能算出不同的值。对于某些s的值，比如说－2，－4，－6等等，Zeta函数的值恰巧是0。于是这些特定的s，就被称为黎曼方程Z（s）＝0的解，关于方程的解的概念是初中数学的内容，当然不是什么新知识。具体到Z（s）＝0这个方程，只要s是负的偶数，都是方程的解。这些解由于很快大家都发现了，因此被称为平凡解。
非平凡解
那么除了－2，－4，－6这样的负偶数，黎曼方程Z（s）＝0是否还有其他的解呢？1859年，黎曼在当选为柏林科学院的通信院士时，作为对这个崇高荣誉的答谢，向柏林科学院提交了一篇题为“论小于给定数值的素数个数”的论文，在论文中指出，该方程的非平凡解不仅有，而且都集中在复数平面的一条直线上，但是他没有证明，因此这个结论就成了一个猜想。
后来人们根据黎曼的提示找到了很多非平凡解，它们都具有1/2+ yi这样的形式，其中i是－1的平方根，y是某个特定的数字。由于里面Zeta函数方程的解和素数的分布非常相关，因此在随后的一百多年里，有很多数学家研究这个问题，并且发现了15亿个这样的非平凡解，而且最大的一个解，数值本身已经很巨大了。
实际上，今天只要愿意让计算机不断地计算下去，可以不断得到新的非平凡解，而且这些解都符合黎曼的假设。可以讲，在我们能够搜索到的非常大的空间里，到目前为止能够找到的所有的解，都符合黎曼猜想，没有例外。
证伪 和证明的区别
接下来就有一个疑问，既然我们从来没有找到不符合黎曼假设的情况，而且测试了很大的范围，我们能否认为在现实世界中，黎曼猜想就是成立的，因此不再需要考虑它在数学上的正确性了呢？
这个问题其实没有绝对正确的答案。一方面，在工程上和应用科学上，我们有时确实在使用还没有证实的猜想。比如说，我们今天相信各种加密系统是安全的，那只是从工程的角度讲，从科学的角度讲，目前使用的各种加密方法都是能破解的，那只是时间的问题而已。
另外，和黎曼猜想同样有名的还有一个叫做“杨-米尔斯（Yang-Mills）理论”，这也和黎曼猜想一样是七个千禧数学难题之一。这里的杨就是指中国著名物理学家杨振宁先生，米尔斯是他的学生。
这是一个现代物理学上的理论，虽然已经在现有的各种实验中得到了证实，一些物理学家还因此获得了诺贝尔奖，但是，迄今为止还没有人在数学上严格证明它。也就是说，即使它在人类所知的范围内没有被证伪，但是和数学上被证明是两回事。
数学同实验科学和工程上的区别
今天，通过这些例子，特别是黎曼猜想的例子，我们可以了解到数学同实验科学和工程上的区别，这种区别不仅仅在结果和精度上，更关键在解决问题的思维方式上。应该讲，采用纯数学的思维常常解决不了实验科学和工程上的问题，反之亦然。如果我们把这种思维的差异放大到各个领域，就会发现从事不同领域的工作，常常需要有不同的思维方式。
- 我们常常讲有的人喜欢“钻牛角尖”，其实有一大类钻牛角尖现象的产生，是因为某些人把适合他们工作和生活的思维方式，用错了场景。
- 比如一个会计算账，根据会计规则，需要精确到小数点后两位，至少是整数位。但是你如果请别人帮助买一张飞机票，通常给人整数的钱就好了，如果一定要算得很精细，就没有意思了。这就是将自己的领域知识用错了场景。
- 但凡是一个职业人士，都会不自觉地犯这一类“钻牛角尖”的毛病，自己认为是很严谨的专业做法和说法，在其他职业者看来，就是钻牛角尖，因为后者希望对那些自己不熟悉的专业概念的理解模糊点，粗糙点。
- 为什么学理工的人更容易给人钻牛角尖的看法？因为他们自己觉得很准确的思维方式，在别人看来完全不需要。因此，看人讲话是一件很重要的事情。
前一阵子黎曼猜想的热门事件，也再次说明了不同知识之间的相关性。
明天，我们再通过一个具体的问题，谈谈数学和真实世界的差别，你会从中看到一个你想象不到的大世界。
祝 近安
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