前言
乌龙： 英国著名数学家、菲尔兹奖得主阿蒂亚爵士宣布自己证明了数学上著名的黎曼猜想
消息一传出，先是引起大家的激动和好奇，当然也有少数人怀疑，几天后这位数学家所做的报告说明他其实离证实这个猜想还差得远着呢，只是说出了很多人其实已经知道的一些结论而已，整个40分钟的报告里面，涉及到黎曼猜想证明的只有一张PPT三分钟的内容。
- 报告结束后，虽然大家给了他掌声，但是高智商听众云集的会场里随即陷入一片沉默，居然没有人提问题。随后阿蒂亚再次请大家来提问，但是还是没有人开口，最后一位搞人工智能的印度小哥，问了一个很傻但是十分尖锐的问题，“黎曼猜想算是被成功证明了吗？”
- 其实在座的数学家们对此都清楚，只是碍于老先生的威望和年纪，不好直说罢了。搞人工智能的人在数学家看来，属于鄙视链最底端的人，所以也就无知者无畏了，扮演了“皇帝新装”中的那个男孩。
- 老爵士对此没有正面回答，只是说，难道不是么？我的一位大学数学教授的朋友讲，这位89岁的老先生可能是要刷刷存在感，因为大家都觉得破解数学难题是40岁以下年轻人的事情。实际上，上次世界数学大会，老先生就搞出了乌龙，这是第二次了。
不过，这个新闻背后有一个玄机。为什么媒体在听到黎曼猜想被证明后就兴奋不已，而很多并不懂数学的人也关心此事呢？这说明了这道数学难题的重要性。具体讲，就是黎曼猜想和寻找大素数有关，而寻找大素数和加密有关，这关乎我们今天的信息安全。
如果这件事放在40年前，不会引起那么大的轰动，因为那时互联网没有这么普及，信息安全对老百姓来讲不重要。再往后，这个问题会更重要，假如加密虚拟货币真进入了我们的流通领域，它的安全性就极为重要了。
什么是延拓？
黎曼猜想比较烧脑，但是由它来说明认知升级还是不错的。
函数定义的延拓
由于黎曼猜想这个问题比较复杂，需要花两天的时间讲解，而且今天只能讲一些基础的知识，重点是要介绍一个数学中概念，即函数定义的延拓。通过这个概念，希望大家能理解人类认识进步的过程，看看人类是如何从一个局部的认识，上升到完整的认识，特别是在对数学认知的升级过程中，需要发明新的概念，并且对概念的理解进行逐渐升级。
- 我们小时候认识的数字都是
正整数，1，2，3，4……因为我们接触到的周围的世界就是这样实实在在一个又一个的东西。 - 后来，我们被告知零这个概念。1，2，3这样的正整数，我们即使不被告知，脑子里的概念也能根据生活经验形成，但是零这个概念，如果不被告知，99.99%甚至更多的人，是无法自我获得的。
- 事实上除了古印度，其他文明在早期数字中都没有零这个数，也就是说，零这个概念是人类从有数字开始花了几千年才搞明白的概念。几周前我们谈过有关常识的问题，零这个概念对我们来讲就是常识，但是对于几千年前，甚至几百年前没有受过教育的人来讲，并不是常识。由此可见，常识是不断更新的。有了零，我们对数字的认识就从正整数到了
自然数（即零和正整数）。
- 事实上除了古印度，其他文明在早期数字中都没有零这个数，也就是说，零这个概念是人类从有数字开始花了几千年才搞明白的概念。几周前我们谈过有关常识的问题，零这个概念对我们来讲就是常识，但是对于几千年前，甚至几百年前没有受过教育的人来讲，并不是常识。由此可见，常识是不断更新的。有了零，我们对数字的认识就从正整数到了
- 有了数字就要做运算，事实上运算的出现早于零的出现。大约在17000年前，南部非洲的人就使用了技术运算的工具。最早的运算是加法，对于加法来讲，自然数本身是完备的，也就是说任何两个自然数相加，结果还是自然数。
- 不过，有了加法必然会产生减法的概念。
对于减法，自然数就不完备了，因为2-3=？在自然数中找不到。于是人们就发明了负数这个概念。比如2-3=－1。如果我们把减法看成是一个简单的函数，那么2-3其实已经是减法函数定义的一个延拓了，因为我们在小学开始学习减法时，是要求前面的数字大于等于后面的，这是基本概念。
- 不过，有了加法必然会产生减法的概念。
但是我们接触到负数后，老师就把减法的定义范围（也称为定义域）给偷偷更换了。也就是说，现在的减法其实不是过去的减法了。进行了概念的延拓，或者说减法函数的延拓后，数学就变得抽象了，难懂了，但是功能也就更强大了。
很多人觉得数学很难学，主要是每一次概念延拓时，抽象的概念没有搞清楚，以后不明白的地方越来越多，就再也学不进去了。
和加法类似，自然数对于乘法来讲，也是完备的，也就是说，两个自然数相乘，结果跑不出自然数的范畴。当然，有乘法就有除法。遗憾的是，自然数对于除法不是完备的，因为2/3不是一个整数。于是人们又搞出分数的概念。这样整数加上分数，就形成了我们所知道的有理数。在毕达哥拉斯之前，人类对数字的认识到此为止。
乘法中有一类特殊的乘法，就是自己乘以自己，我们称之为平方。有理数对于平方来讲，也是完备的，也就是说，平方运算算来算去，跑不出有理数的范围。当然，人们很快也会想到平方的逆运算，就是开方。遗憾的是，对于开方来讲，有理数就不完备了，因为像根号二这样的数字不是有理数。
这件事首先被毕达哥拉斯的一个叫做希帕索斯的学生发现了，这就造成第一次的数学危机，因为毕达哥拉斯原来宣称的所有数字都是有理数这件事就有例外了。于是，毕达哥拉斯决定当鸵鸟，装作不知道，然后把自己的这个学生希帕索斯弄死了。
当然，他更正确的做法应该是承认无理数的存在，这样他其实会变得更伟大。从有理数到无理数，实际上数字的范围又进行了一次延伸，从有理数扩展到了实数，即有理数和无理数的总称。开方这种运算，自然也进行了一次延拓。
讲到平方和开方，还要问大家一个问题。什么数字的平方等于4？我发现95%甚至更多的人会回答是2，这个回答只对了一半，因为－2的平方也是4。初中生考数学丢分，忘记负数是最常见的原因。
有了实数的概念，开方这件事情对于正的实数来讲是完备的。但是，对于负数来讲就有问题了，因为没有一个实数，平方等于－1。也就是说－1的开方在实数中是没有定义的。于是，数学家们不得不发明一个虚拟的数字，让它的平方等于－1，这就是虚数i，也就是说：i x i ＝－1。
这样开方这种运算就被延拓到复数的范围，所谓复数是实数和虚数的总称。有了复数，加减乘除、平方、开方就都完备了。虚数概念的出现和之前几次数字概念的拓展都不同，因为它不是自然界本身存在的，完全是数学家为了让开方这种运算完备，自己发明出来的。
这样的数学，已经完全是一个从定义和公理出发，通过逻辑推演出的知识体系了，它已经无法和现实世界一一对应了。从此，我们不能再用对真实世界的理解，去判定数学上的对错了。
那么复数有什么用呢？
为什么要搞出这么一个在现实世界中完全不存在的概念呢？仅仅是为了让开方运算变得完备么？当然不是。
- 复数是一个非常强大的数学工具，使用这个建立在现实生活中所不具备的事实的基础之上的数学工具，可以解决很多现实世界里的问题。
- 这句话可能听起来有点绕口，换一种方式讲是这样的，复数的基础在现实世界里并不存在，但是建立在不存在基础上的工具，却能解决实际问题。
- 比如我们使用的三相交流电是实实在在地存在的，它里面的很多问题，用复数这个工具解决，要比用实数加上三角函数解决起来容易得多。
- 实际上，涉及到电磁波的几乎所有问题，都需要使用复数这个工具来解决。
- 这句话可能听起来有点绕口，换一种方式讲是这样的，复数的基础在现实世界里并不存在，但是建立在不存在基础上的工具，却能解决实际问题。
总结
- \1. 我们重点讲了“延拓”这个概念。
- 人类最初的认知来源于自身的实践，但是人类渐渐发现很多新的问题在原有的认识基础上就无法解决了，于是人类就进行概念的拓展，当然，在数学上也就有了运算（和函数）的延拓。
- 我们在之前的来信中讲了。每当我们发现问题的时候，其实都是我们的机会，而不仅仅是我们的厄运。数学就是这样在不断发现问题，解决问题的过程中进步的。在生活中，适当的、合乎逻辑的“延拓”也很重要，至于什么地方可以用到这样的思维方式，这是今天的思考题。
-
\2. 学习间接经验很重要。如果凡事都要靠自己琢磨出来，即使是零这样一个常识性的概念，也要想个上千年。
- \3. 数学是一个抽象的工具，它的很多分支建立在“不存在”的基础之上，却能解决现实的问题，这在哲学意义上是一件很有意思的事情。
- 有效地做事情，掌握好的工具非常重要。同一个问题，有些人因为手头上有好的工具，就解决了，有些人从自己在现实世界的经验出发慢慢摸索，就难以解决。
明天我们介绍这周的重头内容，关于黎曼猜想的内容。
- 思考题：
- \1. i的平方根是什么？
- \2. 在生活中，适当的、合乎逻辑的“延拓”也很重要，什么地方可以用到这样的思维方式呢？
祝 秋安
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